Здравствуйте, Дмитрий. Да, нужно. В течение 3х рабочих дней с даты оплаты патента. Это требование прописано в Постановлении Правительства №9 "О миграционном учете" в ст. 42. За нарушение сроков продления принимающую сторону оштрафуют.
Если сотрудники МВД задержат для проверки документов иностранного гражданина и у него на руках не будет действующей регистрации, то у сотрудников будет основание для задержания гражданина и доставки его потом в суд, а суд может вынести решение о выдворении. Так что все серьезно.