Как прошлого работодателя предупредить о звонке от нового работодателя?

"Думаю стоит его предупредить, но вот как? Звонить - стесняюсь и боюсь отвлекать(мало ли)." - да не обязательно, но зависит от характера руководителя. Нюанс в том, что некоторые руководители и кадровики, без предупреждения работника вряд ли будут общаться, кроме формального подтверждения самого факта работы.
В случае же, нормальных отношений и не конфликтного расставания, по просьбе бывшего работника возможно и более обширно охарактеризовать работника.
Лично я без разрешения работника особо общаться не буду, да и сам не особо доверяю этому и использую только в случае имеющихся подозрений о соискателе, как ещё один штрих к портрету.
"Хочу написать в вотс аппе" - да без разницы, хоть в скайпе, хоть по электронке.
"специально просить отличную характеристику - думаю нет смысла, но вот, что надеюсь на хорошие рекомендации - думаю да." -я бы не рискнул ставить вопрос так, просто предупредил бы о возможности звонка по своему поводу от будущего работодателя.
А так конечно решать только Вам, тем более только Вы сами знаете своего бывшего шефа.

"но зависит от характера руководителя. " -правильно выбрать какого из руководителя можно дать контактные данные.
На счет поговорить. Всегда когда планирую уйти обрабатываю персону мотивирую на положительный результат в мою пользу.
Бизнес вещь тесная.

На мой взгляд, Вы чересчур заморачиваетесь. Зачем кого-то предупреждать? Если не было конфликтов и нормально расстались, про Вас вряд ли будут говорить что-то плохое. Да и если спросили телефон, еще не факт, что будут по нему звонить.
Мне иногда звонят, интересуются бывшими работниками, но как правило эти звонки, носят формальный характер: "как долго работал? были ли нарекания? уволился по собственному желанию или нет?" и на этом все. Даже, когда предлагаю дать контакты непосредственного руководителя, в большинстве случаев отказываются, говорят: "спасибо" и прощаются.

Всегда надо давать телефон.Это мое личное мнение.Только вопрос какого начальника(начальника отдела или коммерческого директора).Вот тут четко знать психотип человека. Правильно сделать выбор.Это надо продумывать за ранее и очень серьезно и тщательно.