"Хочу устроиться на работу с оформлением по договору без занесения в трудовую книжку. Как правильно это сделать?" - если именно на работу, то только по совместительству при наличии другой основной или оформить дистанционный договор(глава 49.1 ТК РФ). Либо оформляться как подрядчик по ГПД(ГПХ).
Во всех иных случаях работодатель обязан вести ТК.
Во всех иных случаях работодатель обязан вести ТК.